Sintya Sinulingga

    FOLLOW  

PEMBELAJARAN RING DALAM STRUKTUR ALJABAR II

Eduaksi | Wednesday, 18 May 2022, 10:18 WIB

Definisi 1

Misal R adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua buah operasi yakni + (operasi penjumlahan) dan . (operasi perkalian), selanjutnya dilambangkan dengan (R, +, .). Struktur (R, +, .) dinamakan ring , jika

memenuhi aksioma :

a. ( R,+) grup abelian

i. Tertutup, yakni ????,???? ????,???? + ???? ????

ii. Assosiatif,yakni ????,????,???? ????,(????+????)+????=????+(????+????)

iii. Terdapat elemen identitas, yakni ???? ????, ???? ????,???? + ???? = ???? + ???? = ????

iv. Setiap elemen punya invers, yakni ???? ????, ????−1 ????, ???? + ????−1 = ????−1 + ????=???? Untuk selanjutnya a-1 dinamakan invers dari a.

v. Komutatif , yakni ????, ???? ????, ???? + ???? = ???? + ????

b. ( R, . ) semigrup

i. Tertutup, yakni ????,???? ????,???? .???? ????

ii. Assosiatif, yakni ????,????,???? ????,(???? .????).???? = ???? .(???? .????)

c. Sifat distributif kiri dan distributif kanan, yakni : ????, ????, ???? ????,

i. ????.(????+????)=(????.????)+(????.????)

ii. (????+????).????=(????.????)+(????.????)

Definisi 2

Misal R adalah ring yang mempunyai elemen identitas terhadap operasi perkalian (misal dinotasikan e1 ). Untuk selanjutnya elemen identitas terhadap operasi perkalian ( e1 ) dinamakan sebagai elemen satuan.

Untuk lebih lanjut, ring R yang memuat elemen satuan dinamakan sebagai Ring dengan elemen satuan.

Definisi 3

Ring R dikatakan sebagai ring komutatif jika operasi perkalian pada R bersifat komutatif.

Contoh :

1. Z = Himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan operasi pada Z seperti berikut : + adalah operasi penjumlahan biasa

• adalah operasi perkalian biasa. (Z, + , . ) merupakan ring.

Bukti :

a. Ditunjukkan (Z, + ) grup abelian

i. ????, ???? ????, ???? + ???? ???? ...(sifat ketertutupan penjumlahan bilangan bulat)

ii. ????,????,???? ????,(????+????)+????=????+(????+????), ...(sifat assosiatif penjumlahan bilangan bulat)

iii. ????=0 ????, ???? ???? , berlaku ????+0=0+????=???? Jadi 0 adalah elemen identitas pada Z

iv. ???? ????, ????−1 = −???? ???? , berlaku ???? + (−????) = (−????) + ???? = 0 Jadi setiap elemen di Z mempunyai invers terhadap operasi +

v. ????, ???? ????, ???? + ???? = ???? + ????...(sifat komutatif penjumlahan bilangan bulat) Dari a ( i, ii, iii, iv, dan v ), diperoleh ( Z, + ) grup abelian

b. Ditunjukkan ( Z , . ) semigrup

i. ????, ???? ???? berlaku ???? . ???? ????...(sifat ketertutupan perkalian bilangan bulat)

ii. ????, ????, ???? ????, (???? . ????). ???? = ???? . (???? . ????)(sifat assosiatif perkalian bilangan bulat)

Dari b ( i dan ii), diperoleh ( Z , . ) semigrup

c. Ditunjukkan berlaku sifat distributif kiri dan kanan ????, ????, ???? ????,

1) Distribusi kanan Ambil sebarang a, b, c ????,

???? . (???? + ????) = (???? . ????) + (???? . ????)

2) Distribusi kiri Ambil sebarang a, b, c ????

(???? + ????). ???? = (???? . ????) + (???? . ????)

Dari c 1) dan 2) maka berlaku distributif

Bukti :

a. Ditunjukkan (Z, + ) grup abelian

i. ????, ???? ????, ???? + ???? ???? ...(sifat ketertutupan penjumlahan bilangan bulat)

ii. ????,????,???? ????,(????+????)+????=????+(????+????), ...(sifat assosiatif penjumlahan

bilangan bulat)

iii. ????=0 ????, ???? ???? , berlaku ????+0=0+????=???? Jadi 0 adalah elemen identitas pada Z

iv. ???? ????, ????−1 = −???? ???? , berlaku ???? + (−????) = (−????) + ???? = 0 Jadi setiap elemen di Z mempunyai invers terhadap operasi +

v. ????, ???? ????, ???? + ???? = ???? + ????...(sifat komutatif penjumlahan bilangan bulat) Dari a ( i, ii, iii, iv, dan v ), diperoleh ( Z, + ) grup abelian

b. Ditunjukkan ( Z , . ) semigrup

i. ????, ???? ???? berlaku ???? . ???? ????...(sifat ketertutupan perkalian bilangan bulat)

ii. ????, ????, ???? ????, (???? . ????). ???? = ???? . (???? . ????)(sifat assosiatif perkalian bilangan bulat)

Dari b ( i dan ii), diperoleh ( Z , . ) semigrup

c. Ditunjukkan berlaku sifat distributif kiri dan kanan ????, ????, ???? ????,

1) Distribusi kanan Ambil sebarang a, b, c ????,

???? . (???? + ????) = (???? . ????) + (???? . ????)

2) Distribusi kiri Ambil sebarang a, b, c ????

(???? + ????). ???? = (???? . ????) + (???? . ????)

Dari c 1) dan 2) maka berlaku distributif

SIFAT-SIFAT RING

Misalkan R suatu ring dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian.

• Elemen identitas terhadap penjumlahan disebut elemen nol.

• Elemen identitas terhadap perkalian (jika ada) disebut elemen kesatuan dan

diberi simbol u.

• Invers penjumlahan dari a R ditulis –a dan invers perkalian dari a R (jika ada) ditulis a1.

Karena (R, +) suatu Ring, maka (R, +) suatu grup komutatif sehingga semua sifat yang berlaku dalam grup aditif (penjumlahan) berlaku pula dalam ring, misalnya invers dari invers a R adalah a, ditulis –(-a) = a a R.

Begitu pula –(a + b) = (-a) + (-b), a, b R.

Oleh karena itu, sifat-sifat dapat digunakan dalam ring, sifat-sifat yang akan kita pelajari di sini, terutama sifat-sifat yang berkaitan dengan operasi perkalian.

Teorema 2.1

Jika R suatu Ring, maka:

(i) a . 0 = 0 . a = 0, a R

(ii) a (-b) = (-a) b = -(ab), a, b R

(iii) (-a) (-b) = ab, a, b R

(iv) a (b – c) = ab – ac dan (a – b) c = ac – ab, a, b, c R

Contoh:

Jika a, b, c, d R suatu Ring maka:

(a – b) (c + d) = (a – b) c + (a – b) d sifat distributif kanan = ac – bc + ad – bd sifat distributif kiri

Definisi 2.1

Misalkan R suatu ring dan suatu bilangan bulat positif, maka a R berlaku:

(i) m a = a + a + a + ... + a sebanyak m suku

(ii) (-m) a = m (-a)

= (-a) + (-a) + ... + (-a) sebanyak m suku

= -(a + a + a + ... + a)

= -(ma)

(iii) 0 a = z (elemen nol dari Ring R)

Dari definisi 2.1 dapat diturunkan bahwa apabila R suatu Ring, m dan n bilangan - bilangan bulat positif, maka (m + n) a = ma + na, a R

Hal ini dibuktikan sebagai berikut

ma + na = + =

= (m + n) a

Apabila m suatu bilangan bulat positif dan n suatu bilangan bulat negatif dengan m |n|, berlaku (m + n) a = ma + na ?

Misalkan n = -t dengan t suatu bilangan bulat positif, maka ma + na = ma + (-t) a

= ma + t (-a) = +

= + (a + (-a)) +

= a + a + ... + a + z + (-a) + (-a) + ... + (-a)

= + (a + (-a)) +

Dan seterusnya, karena m 1, maka =

= (-m + t) (-a)

= -(-m + t) a

= (m – t) a, karena –t = n, maka

= (m + n) a

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa jika R suatu ring. m dan n keduanya bilangan bulat, maka (m + n) a = ma + na a R

Selanjutnya jika R suatu ring m dan n bilangan – bilangan bulat, maka m (n.a) a.

Hal ini dibuktikan untuk kemungkinan-kemungkinan yang terjadi dari bilangan-bilangan bulat m dan n. Yaitu :

(1) Jika keduannya positif.

(2) Jika salah satu positif dan lainnya negatif.

(3) Jika salah satu atau kedua nya nol.

Jika m dan n kedua nya bilangan positif maka

m (na) - a

TIPE - TIPE RING

Ada beberapa tipe ring yang akan dalam struktur aljabar yaitu ring komutatif, ring dengan elemen kesatuan, ring tanpa pembagi nol, integral domain, field/lapangan, dan ring pembagian.

A. Ring Komutatif

Suatu ring dikatakan komutatif / abelian bila pada operasi perkalian (multiplikatif) terpenuhi sifat komutatifnya. Secara singkat akan dijelaskan syarat dari Ring Komutatif pada definisi berikut :

Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+, . ) dikatakan suatu Ring Komutatif (Abelian) bila:

a) Ring

1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif

2. (R,.) merupakan suatu Semigrup/Monoid 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

b) Komutatif pada operasi perkalian (R, . )

Jadi, pada Ring Komutatif (R,.) yang merupakan suatu Semigrup/Monoid arus memenuhi sifat-sifat komutatifnya, yaitu : a . b = b . a, a,b R

B. Ring Dengan Elemen Kesatuan

Ring dengan elemen kesatuan ialah ring yang memuat elemen kesatuan (elemen identitas terhadap perkalian ).

a  ,  u = elemen kesatuan  a * u = u * a = a

Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+, . ) dikatakan suatu Ring dengan Elemen Kesatuan bila :

a) Ring : 1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif

2. (R,.) merupakan suatu Semigrup/Monoid

3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

b) Memuat elemen kesatuan pada operasi perkalian (R, . )

Karakteristik Ring Dengan Elemen Kesatuan

Misalkan R adalah ring dengan elemen kesatuan 1.

Jika 1 merupakan order yang tak terbatas dalam penjumlahan, maka karakteristik dari R adalah 0. Jika 1 n order dalam penjumlahan maka karakteristik dari R adalah n.

C. Ring Tanpa Pembagi Nol

Ring yang memuat pembagi nol dibedakan dengan 2 macam yaitu :

1. Ring tanpa pembagi nol (0)

➢ a  0 dan b  0, a.b  0

(juga merupakan pembagi nol sejati karena memuat syarat ???? ≠ 0 ???????????? ???? ≠ 0)

➢ a.b = 0, a = 0 dan b = 0

2. Ring pembagi nol (0) (modulo)

➢ a  0 dan b  0, a.b = 0

Sebelum masuk ke contoh soal, kita akan sedikit menjelaskan bahwa elemen tanpa pembagi nol juga dibahas dalam sub bab ring integral domain, dimana integral domain itu membahas ring komutatif yang tidak memiliki pembagi nol.

D. Integral Domain Definisi

Suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan dan tidak mempunyai elemen pembagi nol disebut daerah integral (Integral Domain).

Untuk lebih jelas mengenai syarat-syarat dari Integral Domain adalah sebagai berikut :

a. (R, + , ∙) merupakan ring komutatif

b. (R, + , ∙) memiliki elemen kesatuan

c. (R, + , ∙) tidak mempunyai elemen pembagi nol (tanpa pembagi nol)

E. Field/Lapangan

Misalkan F adalah suatu ring. Ring F disebut lapangan (field) jika syarat-syarat berikut ini dipenuhi:

1. F adalah ring komutatif.

2. F memiliki elemen satuan e dan e ≠ 0.

3. Setiap elemen tak nol di F memiliki invers perkalian.

F. Ring Pembagian

Jika R adalah ring dengan elemen satuan tetapi tidak komutatif, dan setiap elemen selain nolnya mempunyai invers terhadap perkalian maka R disebut ring pembagian(division ring).

Jelas bahwa perbedaan antara lapangan dan division ring hanya pada sifat komutatifnya terhadap perkalian saja.

SUBRING

Definisi 4.1

Misalkan (R, +, . ) adalah suatu Ring, S ≠ adalah himpunan bagian dari R (S R). Bila operasi yang sama dengan (S,+,.) membentuk suatu Ring maka S disebut Subring dari R.

Teorema 4.1

Misalkan S himpunan tak kosong dalam ring (R, +, . ). Himpunan S merupakan subring dari R jika dan hanya jika untuk setiap a,b Sberlakua+(−b) S dan ab S (???????????????????????????? ????????????????????????????????h???????? ???????????? ????????????????????????????????????).

Teorema 4.2

Jika S dan T merupakan subring dari ring R, maka S ∩ T juga subring dari ring R.

Teorema 4.3

Misalkan R ring dan S R, S ≠ . S merupakan subring dari R jika dan hanya jika

(i) ab S

(ii) ab−1 S untuksetiapa,b S

IDEAL

Pada materi grup kita ketahui ada subgrup normal yang merupakan Subgrup yang memiliki sifat khusus. Di dalam ring juga ada subring khusus yang memiliki sifat-sifat istimewa yaitu tertutup terhadap perkalian unsur di luar Subring. Subring semacam ini dinamakan suatu ideal.

Pada ideal dikenal dengan ideal kiri yaitu bila tertutup terhadap perkalian unsur di sebelah kiri dan ideal kanan yaitu bila tertutup terhadap perkalian unsur di sebelah kanan. Untuk lebih jelasnya akan kita lihat dalam definisi berikut :

Definisi 5.1

Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan I R dengan I ≠ , I disebut ideal kiri dari R jika

i. a, b I berlaku (a + (−b)) I

ii. a I dan r R ⇒ ra I

Definisi 5.2

Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan I R dengan I ≠ , I disebut ideal kanan dari R jika

i. a, b I berlaku (a + (−b)) I

ii. a I dan r R ⇒ ar I

Definisi 5.3

Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan I R dengan I ≠ , I disebut Ideal Dua Sisi (Ideal Kiri Sekaligus Ideal Kanan) dari R jika

i. a, b I berlaku (a + (−b)) I

ii. a I dan r R ⇒ ra I dan ar I

Definisi 5.4

i. Misalkan R ring komutatif dan ???? ????, ideal ???? = {????????|???? ????} dinamakan ideal utama (principal ideal) yang dibangun oleh a dan disimbolkan dengan〈????〉. Suatu ideal dinamakan ideal utama apabila ideal tersebut dapat dibangun oleh satu elemen.

ii. Suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan, di mana setiap idealnya adalah ideal utama, disebut ring ideal utama.

iii. Suatu daerah integral R dinamakan daerah ideal utama apabila setiap ideal di R merupakan ideal utama.

Definisi 5.5

Misalkan R suatu ring dan S adalah suatu ideal dari R dengan S ≠ R. S disebut Ideal Maksimal dari R, jika tidak ada ideal dari R yang memuat S selain S dan R sendiri.

Definisi 5.6

Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan S suatu ideal dari R. s disebut Ideal Prima dalam R, apabila a,b R jika ab S, maka a S atau b S.

Jenis-jenis Ideal :

1. Ideal Utama

Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R.

Ideal I disebut ideal utama (principal ideal) jika dan hanya jika I dibangun oleh tepat satu elemen pada R, yaitu I = a untuk suatu a R .

2. Daerah Ideal Utama

Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan. Ring R disebut daerah ideal utama (principal ideal domain) jika dan hanya jika R daerah integral dan setiap ideal pada R merupakan ideal utama.

3. Ideal Prima

Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R.

Ideal I disebut ideal prima (prime ideal) jika dan hanya jika I ideal sejati dan untuk setiap a, b R dengan ab I dan a I berakibat b I.

4. Ideal Maksimal

Pandang suatu Ring R. K adalah suatu Ideal Maksimal pada R jika K R, dan jika tidak ada Ideal J yang terletak di antara K dan R; yakni, jika K J R, maka K = J atau J = R.

RING FAKTOR

Sama halnya dengan Grup Faktor, di dalam Ring juga dikenal dengan Ring Faktor. Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai Ring Faktor yang mempunyai sifat-sifat hampir sama dengan Grup Faktor.

Definisi 6.1

Misalkan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu Ideal dari R. R/S ={S + a | a R} adalah Ring dengan

1. (S + a) + (S + b) = S + (a + b)

2. (S + a) (S + b) = S + (ab)

Ring semacam ini disebut Ring Faktor atau Ring Kuoisen.

Sekarang akan kita buktikan bahwa R/S = {S + a | a R} membentuk suatu Ring dengan dua operasi biner yaitu terhadap penjumlahan (+) dan terhadap perkalian (.) yang membentuk suatu Ring (R/K,+,.).

HOMOMORFISMA RING

Definisi ????. ????

Misalkan (R,∘,∗) = Ring

(S,∘,∗) = Ring

Pemetaan ????: R → S disebut homomorfisma ring, jika dan hanya jika ????, ???? ???? berlaku:

i. ????(????+????)=????????+???????? ii. ????(????????) = (????????)(????????)

Definisi ????. ????

i. ???? homomorfisma yang injektif ⟹ ???? : monomorfisma

ii. ???? homomorfisma yang surjektif ⟹ ???? : epimorfisma Dan R : homomorfik dengan S (R S) S = peta homomorfik dari R

iii. ???? homomorfisma yang bijektif ⟹ ???? : isomorfisma Dan R : isomorfik dengan S (R S)

Definisi ????. ????

i. ???? homomorfisma ke dirinya sendiri ⟹ ???? : endomorfisma

ii. ???? endomorfisma yang bijektif ⟹ ???? : automorfisma