Nur Aisyah

Pengantar Struktur Aljabar II: DEFENISI RING

Eduaksi | 2022-05-17 07:33:01

Sebagai permulaan dalam mempelajari teori ring, pembaca perlu mengingat kembali pengertian tentang grup beserta contoh-contohnya. Grup merupakan suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi suatu operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma. Ada beberapa contoh grup yang dapat ditemukan dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya grup bilangan bulat (Z,+), grup bilangan rasional (Q,+), grup bilangan real (R,+), dan grup matrix 2×2 atas R, yakni (M2X2 (R), +). Namun dalam kenyataannya, ada banyak himpunan yang dilengkapi dengan dua operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma tertentu sehingga dapat didefinisikan suatu struktur aljabar abstrak. Pada bab ini akan dikenalkan struktur abstrak dengan dua operasi tersebut yakni, struktur ring.

Baca juga :

Misal R adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua buah operasi yakni + (operasi penjumlahan) dan (operasi perkalian), selanjutnya dilambangkan dengan (R, +, .). Struktur (R, +, .) dinamakan ring , jika memenuhi aksioma :

a. ( R,+) grup abelian

i. Tertutup

ii. Assosiatif

iii. Terdapat elemen identitas

iv. Setiap elemen punya invers

b. ( R, . ) semigrup

i. Tertutup

ii. Assosiatif

c. Sifat distributif kiri dan distributif kanan

i. a. (b+c) = (a.b) + (b.c)

ii. (a+b).c = (a.c) + (b.c)

Contoh :

1. Z = Himpunan semua bilangan bulat.

Didefinisikan operasi pada Z seperti berikut :

+ adalah operasi penjumlahan biasa

. adalah operasi perkalian biasa.

(Z, + , . ) merupakan ring.

Bukti :

a. Ditunjukkan (Z, + ) grup abelian

i. untuk setiap a, b elemen Z, a+b elemen Z.....(sifat ketertutupan penjumlahan bilangan bulat)

ii. untuk setiap a, b,c elemen Z (a+b) + c = a + (b+c),......(sifat assosiatif penjumlahan bilangan bulat)

iii. e=0 elemen Z, untuk setiap a elemen Z , berlaku a+
0=0+a = a

Jadi 0 adalah elemen identitas pada Z

b. Ditunjukkan ( Z , . ) semigrup

SIFAT-SIFAT RING

Misalkan R suatu ring dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian.

• Elemen identitas terhadap penjumlahan disebut elemen nol.

• Elemen identitas terhadap perkalian (jika ada) disebut elemen kesatuan dan diberi simbol u.

• Invers penjumlahan dari a R ditulis –a dan invers perkalian dari a R (jika ada) ditulis a-1.

Karena (R, +) suatu Ring, maka (R, +) suatu grup komutatif sehingga semua sifat yang berlaku dalam grup aditif (penjumlahan) berlaku pula dalam ring, misalnya invers dari invers a R adalah a, ditulis

–(-a) = a a R.

Begitu pula –(a + b) = (-a) + (-b), a, b R.

Kesimpulan:

Suatu ring (R,+, .) adalah suatu himpunan tak kosong R dengan operasi binerpenjumlahan (+) dan perkalian (.) pada R yang memenuhi aksioma- aksioma berikut :

1.Tertutup terhadap penjumlahan (+)Misalkan a dan b adalah anggota R, maka a dan b tertutup bila a + b R

2.Assosiatif terhadap penjumlahan (+)Misalkan a, b, c R maka (a + b) + c = a + (b + c)

3.Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+)Misalkan a R maka a + e = e + a = a