Zahra Septi

TEORI RING DALAM STRUKTUR ALJABAR

Info Terkini | 2022-05-14 22:04:38

Abstrak : Matematika mempunyai beberapa cabang keilmuan yang masing-masing mempunyai penerapan dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu dari cabang ilmu tersebut adalah struktur aljabar. Struktur aljabar terbagi menjadi dua, yaitu struktur aljabar I dan struktur aljabar II. Struktur aljabar I membahas tentang grup, sedangkan struktur aljabar II membahas tentang ring yang merupakan kelanjutan dari struktur aljabar I. Dalam pembelajaran matematika khususnya struktur aljabar tidak cukup dengan hanya membaca, tetapi harus mengerti, memahami, serta mampu menganalisis.

Kata kunci : Struktur Aljabar, Teori Ring

Sistem bilangan yang telah dikenal seperti bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan kompleks mempunyai dua operasi yang didefinisikan padanya yaitu penjumlahan dan perkalian. Di bawah operasi pergandaan himpunan bilangan-bilangan tersebut di atas merupakan grup abelian (grup komutatif). Sistem aljabar dengan dua operasi seperti di atas termasuk dalam sistem aljabar yang dinamakan ring.

RING

Definisi I

Ring adalah sistem aljabar yang terdiri dari himpunan anggota A dengan dua operasi yaitu penjumlahan (+) dan perkalian (.) dan memenuhi hukum-hukum.

(1) A , +> grup abelian

(2) terhadap operasi perkalian

(a) hukum tertutup : jika a, b dalam A maka ab dalam A.

(b) hukum assosiatif : (ab)c = a(bc) untuk semua a, b dan c dalam A.

(c) hukum distributif kanan : a(b + c) = ab + ac untuk semua a, b dan c dalam A.

(d) hukum distributif kiri : (a + b)c = ac + bc untuk semua a, b dan c dalam A.

Dalam sebarang ring 0 merupakan identitas terhadap penjumlahan sedangkan –a menyatakan invers a terhadap penjumlahan. Dalam sebarang ring A, pengurangan didefinisikan pada A dengan a – b = a + (-b).

Contoh :

1. Dapat dibuktikan bahwa himpunan A yang terdiri dari 2 elemen yaitu { 0, a } dengan operasi yang didefinisikan dengan 0 + 0 = a + a = 0 0 + a = a + 0 = a 0 0 = 0 a = a 0 = 0 a a = a merupakan ring. Sebagai contoh nyata Z2 = { 0, 1 } dengan operasi penjumlahan dan pergandaan modulo 2 merupakan himpunan yang mempunyai sifat tersebut.

2. Dapat dibuktikan bahwa himpunan A yang terdiri dari 2 elemen yaitu { 0, a } dengan operasi yang didefinisikan dengan 0 + 0 = a + a = 0 0 + a = a + 0 = a 0 0 = 0 a = a 0 = a a = 0 merupakan ring. Dalam hal ini, himpunan A = { 0, 2 } dengan operasi penjumlahan dan pergandaan modulo 4 merupakan himpunan yang mempunyai sifat tersebut.

Teorema I

Diketahui A sebarang ring dan a, b, c sebarang anggota A. Sifat-sifat berikut ini berlaku :

(1) 0 . a = a . 0 = 0

(2) (-a) b = a (-b) = - (ab)

(3) - (-b) = b

(4) (-a) (-b) = ab

(5) a(b – c) = ab – ac

Bukti :

(1) Karena 0 . a + ba = (0 + b) a = ba dan pada sisi lain 0 . a + ba = 0 + ba. Dengan menggunakan hokum kanselasi didapat 0 . a = 0. Dengan cara yang sama didapat juga bahwa a . 0 = 0.

(2) Karena (-a)b + ab = (-a + a) b = 0 . b maka hal ini berarti bahwa (-a)b merupakan invers dari ab terhadap penjumlahan. Karena invers dalam grup A, + > tunggal maka (-a)b satu-satunya invers dari ab terhadap penjumlahan. Dengan symbol : (-a)b = - (ab). Dengan cara yang sama diperoleh a(-b) = - (ab).

(3) Persamaan b + (-b) = -b + b = 0 menunjukkan bahwa b merupakan anggota (tunggal) yang bila ditambah dengan (-b) sama dengan 0. Oleh karena itu, b merupakan invers dari -b terhadap penjumlahan dan disimbolkan dengan b = - (-b).

(4) (-a) (-b) = a(-(-b)) = ab

(5) a (b-c) = a(b + (-c)) = ab + a(-c) = ab + (-(ac)) = ab – ac.

Daftar Pustaka

Setiawan, Adi. 2014. Dasar- Dasar Aljabar Modern: Teori Grup & Teori Ring. Salatiga : Tisara Grafika