Ayu Lestari

TEORI RING DAN SUBRING

Info Terkini | 2022-05-15 20:41:17

Teori Ring Dan Subring

Definisi Ring

Ring adalah suatu himpunan tak kosong yang mempunyai dua operasi biner, yaitu penjumlahan dan perkalian. disebut ring atau gelanggang apabila memenuhi syarat-syarat berikut:

1. (H, o) merupakan grup abelian, yang memiliki sifat kealjabaran: a) Tertutup a,b Є H → a o b Є H b) Assosiatif a,b,c Є H → (a o b) o c = a o (b o c) c) Memiliki identitas Ǝi Є H, a Є H → a o i = i o a = a d) Memiliki invers a Є H → a o a-1 = a-1 o a = i e) Komutatif a, b Є H → a o b = b o a

2. (H, *) merupakan semigrup, yang memiliki sifat kealjabaran : a) Tertutup a, b Є H → a * b Є H b) Assosiatif a,b,c Є H → (a * b) *c = a * (b * c)

3. Bersifat distributif (kiri/kanan) dari operasi * terhadap o yaitu: a) Distributif kanan a * (b o c) = (a * b) o (a * c) b) Distributif kiri (a o b) * c = (a * c) o (b * c) 2.2 Contoh Soal Contoh soal : Diketahui M = {0,1,2,3} serta +4 dan x4 masing-masing operasi penjumlahan dan perkalian modulo

Macam – macam ring dengan elemen kesatuan dibagi 2 yaitu :

a. Sfield Jika (G, *) membentuk grup, yang syaratnya : - Tertutup a, b Є G → a * b Є G -

Asosiatif a, b, c Є G → (a * b) * c = a * (b * c)

•Memiliki elemen identitas Ǝi Є G, a Є G → a * i = i * a = a

•Memiliki elemen invers a Є G → a * a-1 = a-1 * a = i

b.Field Field adalah suatu ring yang unsur-unsur bukan nolnya membentuk grup komutatif/ abelian terhadap perkalian. Dengan kata lain suatu field adalah ring komutatif yang mempunyai unsur invers terhadap perkalian. Jika (G, *) membentuk grup abelian, yang syaratnya : - Tertutup a, b Є G → a * b Є G -

Asosiatif a, b, c Є G → (a * b) * c = a * (b * c)

•Memiliki elemen identitas Ǝi Є G, a Є G → a * i = i * a = a

•Memiliki elemen invers a Є G → a * a-1 = a-1 * a = i

•Komutatif a, b Є G → a * b = b * a

3.Ring Komutatif dengan Elemen Kesatuan

Jika ( G, * ) suatu semigrup yang komutatif dan memiliki elemen identitas, yang syaratnya : - Tertutup a, b Є G → a * b Є G -

Asosiatif a, b, c Є G → (a * b) * c = a * (b * c)

•Komutatif a, b Є G → a * b = b * a

•Memiliki elemen identitas Ǝi Є G, a Є G → a * i = i * a = a

Definisi Subring

Misalkan (R,+,∙) adalah suatu ring. Suatu himpunan S disebut sebagai subring dari R jika S ≠ , S R, dan S adalah suatu ring terhadap kedua operasi yang sama dengan R ( penjumlahan dan perkalian ). Teorema : Misalkan (R,+,∙) adalah suatu ring, S R, dan S ≠ . S adalah subring dari R jika a, b S, berlaku : (i)

a - b S, dan

(ii) ab S Bukti :

Jika S merupakan subring dari R, maka S terhadap operasi (+) merupakan grup abelian sehingga berlaku 5 sifat yaitu : Tertutup, Asosiatif, Identitas, Invers, dan Komutatif. Pada operasi ( ∙ ) merupakan semi grup (berlaku sifat tertutup dan asosiatif) dan memenuhi sifat distibutif kanan dan kiri. Dengan modal tersebut, pada operasi (+) S berlaku a,b S, a+b S (tertutup) dan b S, -b S (invers) sehingga a,-b S, a + (-b) = a - b S. pada operasi ( ∙ ) berlaku sifat tertutup sehingga a,b S, ab S.

-Macam –macam ring ada 2

Ring Komutatif dan Ring adalah kesatuan, lalu Ring berdasarkan kesatuan dibagi menjadi 2 yakni Ring Sfield dan Ring Field. c. (R, +,∙) adalah suatu Ring, S ≠ adalah merupakan himpunan bagian dari R. Bila operasi yang sama dengan (S,+,∙) membentuk suatu Ring maka S disebut Subring dari R. d. Misalkan (R,+,∙) adalah suatu ring, S R, dan S ≠ . S adalah subring dari R jika a, b S, berlaku : (i)

DAFTAR PUSTAKA Fadilla, Fitri Yanti. Subring dan Ideal. [online] http://www.academia.edu/6953117/SUB_RING_dan_IDEAL Fadli. 2014. Bahan Ajar Struktur Aljabar. [online] https://www.leslytirsa201142056.wordpress.com Fadli.2010.Bahan Ajar Struktur Aljabar.[online] https://fadlibae.files.wordpress.com/2010/06/ring.pdf Nurdeni dan Indra Martha. 2017. Struktur Aljabar. Tangerang: PT. Pustaka Mandiri.