Firga Shehan Shadra

Makna Sebuah Hubungan dalam Matematika

Pendidikan dan Literasi | 2024-05-17 18:52:40

Dalam matematika ada banyak sekali cara agar dua entitas dapat dihubungkan satu sama lainnya. Misalnya pernyataan matematika berikut : 515, 1≤1, x≠y. Di dalam setiap kasus tersebut, dua entitas muncul di kedua sisi simbol dan dapat ditafsirkan simbol tersebut sebagai ekspresi beberapa hubungan antara dua entitas. Simbol seperti , ≤, ≠ dan lain-lain, disebut relasi karena menyampaikan hubungan antar entitas.

Sebelum menyatakan secara teoritis suatu hubungan, mari kita renungkan sebuah contoh pembangun ini. Misalnya diambil himpunan semesta yaitu sebuah keluarga besar. Anggota keluarga besar tersebut terdiri dari ayah, ibu, anak, kakek, dan nenek. Di antara anggota-anggota keluarga tersebut dapat terjadi hubungan sebagai berikut:

1. Hubungan “mencintai”, karena seorang ayah pasti mencintai ibu, kakek mencintai nenek, dan seterusnya.
2. Hubungan “lebih tua dari”, karena seorang nenek pasti lebih tua dari ibu, kakak lebih tua dari adek, dan seterusnya.
3. Hubungan “tinggal satu rumah”, karena kakak tinggal satu rumah dengan ibu, nenek tinggal satu rumah dengan kakek, dan seterusnya.

Hubungan “mencintai”, “lebih tua dari”, “tinggal satu rumah” seperti yang dipaparkan di atas tersebut, dapat dinamakan sebuah hubungan antara anggota keluarga.

Kelihatannya kita berpikir secara sederhana pada awalnya, tapi hal ini merupakan sebuah ide sentral dari definisi yang akan kita gunakan. Definisi ini terlalu umum untuk menggambarkan tidak hanya hubungan “mencintai”, “lebih tua dari”, “tinggal satu rumah” untuk himpunan dari sebuah keluarga besar, tetapi hubungan apapun juga dapat dihubungkan dalam sebuah himpunan keluarga.

Dari sebuah contoh pengantar di atas, dapat kita asumsikan bahwa suatu hubungan pada himpunan A merupakan himpunan bagian (subset) dari A×A. Di dalam matematika, kita sering menyebut sebuah hubungan (relasi) dengan simbol R, dan juga menyingkat pernyataan x dan y adalah anggota R menjadi xRy (x,y ϵ R ⟺ xRy).

Perhatikan bahwa suatu hubungan adalah sebuah himpunan, jadi kita dapat menggunakan apa yang kita ketahui tentang himpunan untuk memahami dan mengeksplorasi suatu hubungan. Namun sebelum mendalami tentang teori hubungan ini, mari kita lihat jenis-jenis hubungan. Dalam matematika, hubungan ada 3 jenis yaitu: rekleksif, simetris, dan transitif. Misalkan A himpunan tak kosong dan R berhubungan pada A, R dikatakan hubungan rekleksif jika untuk setiap x ϵ A, berlaku (x,x) ϵ R. Disebut hubugan simetris jika untuk setiap x,y ϵ A dengan (x,y) ϵ R maka berlaku juga (y,x) ϵ R, serta hubungan dikatakan transitif jika untuk setiap x,y,z ϵ A dengan (x,y) ϵ R dan (y,z) ϵ R, berlaku (x,z) ϵ R.

Kehidupan kita di dunia, terdapat takterhingga banyak hubungan dalam hal apapun. Dari banyaknya hubungan-hubungan yang ada, apakah selalu berlaku hukum-hukum jenis relasi yang dipaparkan di atas. Misalkan hubungan “orang tua dari” pada sebuah himpunan manusia, hubungan tersebut tidak dapat kita katakan dengan hubungan rekleksif karena tidak ada manusia yang menjadi orang tua dari dirinya sendiri.

Dalam kasus lain contohnya, hubungan “mencintai” pada manusia belum tentu dapat disebut hubungan simetris dan transitif. Sebab dalam hukum hubungan simetris setiap manusia harus mencintai dan dicintai, tapi realitanya kita mencintai seseorang misalnya, orang tersebut belum tentu mencintai kita. Serta hubungan mencintai belum tentu transitif, karena entitas a misalnya mencintai entitas b, dan entitas b mencintai entitas c maka belum tentu a mencintai c. Dari contoh kasus-kasus di atas, dapat kita katakan tidak semua hubungan bersifat rekleksif, simetris, dan transitif.

Pemahaman yang mendalam mengenai hubungan dan sifat-sifatnya memungkinkan kita untuk menganalisis dan mengevaluasi hubungan dalam berbagai konteks, baik dalam matematika murni maupun aplikasi praktisnya. Pada akhirnya, mengenali bahwa tidak semua hubungan memenuhi sifat-sifat tertentu membantu kita mengapresiasi kompleksitas dan keragaman relasi dalam berbagai bidang kehidupan. Dengan ini, kita dapat lebih bijaksana dalam menerapkan teori matematika untuk menyelesaikan masalah nyata, sambil tetap menghargai keterbatasan dan keunikan setiap situasi.