Tiara Widya

    FOLLOW  

RING FAKTOR DALAM STRUKTUR ALJABAR II

Info Terkini | Sunday, 15 May 2022, 15:55 WIB

Definisi 1.1

Misalkan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu Ideal dari R.

R/S ={S + a | a R} adalah Ring dengan

1. (S + a) + (S + b) = S + (a + b)

2. (S + a) (S + b) = S + (ab)

Ring semacam ini disebut Ring Faktor atau Ring Kuoisen.

Sekarang akan kita buktikan bahwa R/S = {S + a | a R} membentuk suatu Ring dengan dua operasi biner yaitu terhadap penjumlahan (+) dan terhadap perkalian (.) yang membentuk suatu Ring (R/K,+,.). Adapun syarat syarat suatu Ring adalah sebagai berikut:

Grup Komutatif :

a. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di R/S

Misal a, b R dan a + b R

Maka:

Untuk setiap (S + a), (S + b) R/S

berlaku (S + a) + (S + b) = S + (a + b)

dimana S + (a + b) R/S

Sehingga S + (a + b) R/S tertutup terhadap penjumlahan di R/S

b. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di R/S

Misal a, b, c R

Maka a + (b + c) = (a + b) + c

Sehingga :

Untuk setiap (S + a), (S + b), (S + c) R/S

[(S + a) + (S + b)] + (S + c) = (S + a) + [(S + b) + (S + c)]

[S + (a + b)] + (S + c) = (S + a) + [S + (b + c)]

S + [(a + b) + c] = S + [a + (b + c)]

(S + a) + [S + (b + c)] = [S + (a + b)] + (S + c)

(S + a) + [(S + b) + (S + c)] = [(S + a) + (S + b)] + (S + c)

c. Punya invers terhadap penjumlahan (+) di R/S

Misal a R

Maka a + (−a) = (−a) + a = i = 0

Sehingga :

(S + a) R S

(S + a) + (S + (−a)) = (S + (a + (−a)) = S + 0 = S

(S + (−a)) + (S + a) = (S + ((−a) + a) = S + 0 = S

⇒ (S + a) + (S + (−a)) = (S + (−a)) + (S + a) = S + 0 = S

d. Ada elemen identitas terhadap penjumlahan di R S

Misal a R

Maka a + e = e + a = a

Sehingga:

Untuk setiap (S + a) R/S

(S + 0) + (S + a) = (S + (0 + a)) = S + a

(S + a) + (S + 0) = (S + (a + 0)) = S + a

⇒ (S + 0) + (S + a) = (S + a) + (S + 0) = S + a

e. Komutatif terhadap penjumlahan di R/S

Misalkan a, b R

Maka a + b = b + a

Sehingga :

Untuk setiap (S + a), (S + b) R/S

(S + a) + (S + b) = (S + b) + (S + a)

(S + (a + b)) = (S + (b + a))

(S + (b + a)) = (S + (a + b)

(S + b) + (S + a) = (S + a) + (S + b)

Semigrup :

a. Tertutup terhadap perkalian di R/S

Misal a, b R dan a ∙ b R

Maka:

Untuk setiap (S + a), (S + b) R/S

Berlaku (S + a) ∙ (S + b) = S + (a ∙ b) dimana S + (a ∙ b) R/S

Sehingga S + (a ∙ b) R/S tertutup terhadap perkalian di R/S

b. Assosiatif terhadap perkalian di R/S

Misal a, b, c R

Maka a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

Sehingga :

Untuk setiap (S + a), (S + b), (S + c) R/S

[(S + a) ∙ (S + b)] ∙ (S + c) = (S + a) ∙ [(S + b) ∙ (S + c)]

[S + (a ∙ b)] + (S ∙ c) = (S + a) ∙ [S + (b ∙ c)]

S + [(a ∙ b) ∙ c] = S + [a ∙ (b ∙ c)]

(S + a) ∙ [S + (b ∙ c)] = [(S + a) ∙ (S + b)] ∙ (S + c)

Distributif terhadap perkalian dan penjumlahan :

a. Distributif terhadap perkalian dan penjumlahan di R/S

Misalkan a, b, c R

Maka a ∙ (b + c) = (a ∙ b) + (a ∙ c)dan (a + b) ∙ c = (a ∙ c) + (b ∙ c)

Sehingga :

Untuk setiap (S + a), (S + b), (S + c) R S

(S + a) ∙ [(S + b) + (S + c)] = [(S + a) + (S + b)] ∙ (S + c)

(S + a) ∙ [S + (b + c)] = [S + (a + b)] ∙ (S + c)

(S + [a ∙ (b + c)]) = (S + [(a + b) ∙ c])

S + [(a ∙ b) + (a ∙ c)] = S + [(a ∙ c) + (b ∙ c)]

[(S + a) ∙ (S + b)] + [(S + a) ∙ (S + c)] = [(S + a) ∙ (S + c)] + [(S + b) ∙ (S + c)

Dengan kata lain jika R adalah suatu Ring dan S adalah suatu Ideal dari

R, maka R/S dikatakan suatu Ring Faktor jika memenuhi:

1. (R/S, +) adalah suatu Grup Komutatif

2. (R/S,∙) adalah suatu Semigrup

3. (R/S, +,∙) adalah distributif perkalian terhadap penjumlahan

Contoh

Z12 = {0, 1, 2, 3, . ,11} adalah ring dari bilangan-bilangan bulat modulo 12. Carilah banyaknya ideal yang berbeda dan banyaknya ring faktor dari masing-masing ideal.

Penyelesaian :

Ada empat Ideal yang berbeda dari Ring Z6

1. P = {0, 6}

P + 0 = {0, 6} P + 6 = {6,0} = P

P + 1 = {1,7} P + 7 = {7,1} = P + 1

P + 2 = {2, 8} P + 8 = {8, 2} = P + 2

P + 3 = {3, 9} P + 9 = {9, 3} = P + 3

P + 4 = {4, 10} P + 10 = {10, 4} = P + 4

P + 5 = {5, 11} P + 11 = {11, 5} = P + 5

2. Q = {0, 4, 8}

Q + 0 = {0, 4, 8} Q + 6 = {6, 10, 2} = Q + 2

Q + 1 = {1, 5, 9} Q + 7 = {7, 11, 3} = Q + 3

Q + 2 = {2, 6, 10} Q + 8 = {8, 0, 4} = Q + 0

Q + 3 = {3, 7, 11} Q + 9 = {9, 1, 5} = Q + 1

Q + 4 = {4, 8, 0} = Q + 0 Q + 10 = {10, 2, 6} = Q + 2

Q + 5 = {5, 9, 1} = Q + 1 Q + 11 = {11, 3, 7} = Q + 3

3. R = {0, 3, 6, 9}

R + 0 = {0, 3, 6, 9} R + 6 = {6, 9, 0, 3} = R + 0

R + 1 = {1, 4, 7, 10} R + 7 = {7, 10, 1, 4} = R + 1

R + 2 = {2, 5, 8, 11} R + 8 = {8, 11, 2, 5} = R + 2

R + 3 = {3, 6, 9, 0} = R + 0 R + 9 = {9, 0, 3, 6} = R + 0

R + 4 = {4, 7, 10, 1} = R + 1 R + 10 = {10, 1, 4, 7} = R + 1

R + 5 = {5, 8, 11, 2} = R + 2 R + 11 = {11, 2, 5, 8} = R + 2

4. S = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

S + 0 = {0, 2, 4, 6, 8, 10} S + 6 = {6, 8, 10, 0, 2, 4} = S + 0

S + 1 = {1, 3, 5, 7, 9, 11} S + 7 = {7, 9, 11, 1, 3, 5} = S + 1

S + 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 0} = S + 0 S + 8 = {8, 10, 0, 2, 4, 6,8} = S + 0

S + 3 = {3, 5, 7, 9, 11, 1} = S + 1 S + 9 = {9, 11, 1, 3, 5, 7} = S + 1

S + 4 = {4, 6, 8, 10, 0, 2} = S + 0 S + 10 = {10, 0, 2, 4, 6, 8} = S + 0

S + 5 = {5, 7, 9, 11, 1, 3} = ???? + 1 S + 11 = {11, 1, 3, 5, 7, 9} = S + 1

Sehingga ideal dan ring faktor pada Z12 dapat ditulis sebagai berikut :

IDEAL RING FAKTOR

P = {0, 6} Z12/ P = {(0,6), (1,7), (2,8), (3,9), (4,10), (5,11)}

Q = {0, 4, 8} Z12/ Q = {(0,4,8), (1,5,9), (2,6,10), (3,7,11)}

R = {0, 3, 6, 9} Z12/ R = {(0, 3, 6, 9),(1,4,7,10), (2,5,8,11)}

S = {0, 2, 4, 6, 8, 10} Z12/ S = {(0, 2, 4, 6, 8, 10), (1,3,5,7,9,11)}

Daftar pustaka

Setiawan, Adi. 2011. Aljabar Abstrak (Teori Grup dan Teori Ring). Salatiga. Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.

Wahyuni, Sri, Indah Emilia, Diah Junia. 2013. Pengantar Struktur Aljabar II: Daerah Integral dan Lapangan. Yogyakarta : UGM